年が明けるたびに「二度寝しない」とか「タイムマネジメントをがんばる」とか目標を立てては挫折しているので、今年は通年目標を軽くして、それとは別に小さいクエストを用意してちまちまと挑戦していくことにした。
通年目標は「毎月何かしら絵を描く」にしているがまあそれは今回の主題ではない。
小さいクエストとして今のところ「修論」「つぼケージの清掃」「お題箱消費」などがあるのだが、ある数学的問題の解決もその中に含まれている。
先月別のアカウントのタイムラインにこのツイイトが流れてきた。
【だれかおしえて】100円持ったAさんと、10000円持ったBさんがいます。
— ほねっと・ネル・ゼルファー (@aftercider) 2017年12月19日
互いに100円ずつかけてコインを投げて表ならAさん、裏ならBさんが掛け金をもらいます。
相手の所持金を全部奪ったら勝ちです。
どっちか勝つまで100円賭けをやりつづけます。
Aさんが勝つ確率はいくらでしょう？
RTで流れてきただけなのでほねっと・ネル・ゼルファーさんとはあっちのアカウントでも面識はない(FFのFF?)のだが、自分としても気になったのでいっちょう解いてやるか、というつもりで紙とペンを手に取った。しかしこれがなかなか難しい。
n回負けるときのパターン図を最小経路問題のように描いてごにょごにょして確率に直し、総和をとってnを発散させるのが王道であるように思われる。
つまりこんな感じ。
この図は「Aがn回負けつつ勝つ」ルートを示している。
スタートからAが勝てば上、負ければ右へ移動する。これを繰り返してゴールで相手の持ち金を0にする。このときのパターン総数をa_nとして右の式の極限をとればいけるのだが、a_nがよくわからん。階段が片方だけならカタラン数の応用で簡単に処理できるのだが、両側に階段があるとうまくいかない。もしかしたら帰納的に求められるのかもしれないが頭が悪いので計算できない。
a_nだけできればΣとlimはMathematicaに放り込んで終わりなのであと一歩ひらめきがあればなんとかなりそうである。
ほんとうはSteamで買ったゲームをクリアするというクエストもあったのだが、最初の通路を数歩歩くとゲームが強制終了するのでコミュニティで聞いてみたところ、PCのスペックが足りないことが判明した。しょんぼり。
